Hesperus Crimean (merkyl) wrote,
Hesperus Crimean
merkyl

Циклическое число

Оригинал взят у masterok в Циклическое число


… или как правильно это называется ? Вот в чем суть, являясь периодом разложения обыкновенной дроби \frac{1}{7} в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.


Если разделить единицу на семь и округлить полученный результат до шестого знака после запятой, получится 0.142857.


Число 142857 называют циклическим. Если последовательно умножать его на 2, 3, 4, 5 и 6, получаются числа, в которых цифры как будто перескакивают из начала очереди в ее конец:




  • 1 × 142,857 = 142.857

  • 2 × 142,857 = 285.714

  • 3 × 142,857 = 428.571

  • 4 × 142,857 = 571.428

  • 5 × 142,857 = 714.285

  • 6 × 142,857 = 857.142

  • 7 × 142 857 = 999 999


При этом получившиеся числа практически один в один походят на результаты деления на 7:



  • 1 / 7 = 0.142857

  • 2 / 7 = 0.285714

  • 3 / 7 = 0.428571

  • 4 / 7 = 0.571428

  • 5 / 7 = 0.714285

  • 6 / 7 = 0.857142


 


Еще один момент интересный : общепринятый формат бумаги А4 имеет размерность 210 на 297 миллиметров. Если разделить 297 на 210, то получится число 1.4142857


 


Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999:



8 × 142857 = 1142856 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)

42 × 142857 = 5999994 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)


Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.


Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на \frac{5}{10} или на \frac{2}{10} соответственно) также можно получить сдвигом:



142 857 / 2 = 71 428.5

142 857 / 5 = 28 571.4


После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:



857^2 = 734449\,



142^2 = 20164\,



734449 - 20164 = 714285\,


Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби \frac{1}{7}. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:



1/7 = 0.14285714285714285714…

2/7 = 0.28571428571428571428

3/7 = 0.42857142857142857142

4/7 = 0.57142857142857142857

5/7 = 0.71428571428571428571…

6/7 = 0.85714285714285714285



Если число 142 857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99. 142 857 является также Числом харшад и Числом Капрекара





 


Следующее циклическое число — 0588235294117647 с 16 цифрами:

0588235294117647 × 1 = 0588235294117647

0588235294117647 × 2 = 1176470588235294

0588235294117647 × 3 = 1764705882352941



0588235294117647 × 16 = 9411764705882352


 



 


Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточные фокусы. В качестве примера приведем следующий фокус. Он основан на том, что если умножить «циклическое число» 142857 на любое целое число от 2 до 6, то получится число, составленное из тех же цифр с круговой (цикли­ческой) их перестановкой.


Фокус состоит в следующем. Зрителю даются пять карт красной масти, имеющие числовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты; при этом показывающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет и порядок неизменным. (Этого можно легко добиться, дважды перекладывая карты по одной с одной стороны колоды на другую. Быстрое выполнение этой операции создает полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное, оставляя таким образом первоначальный порядок не­изменным.)


Показывающий раскладывает на столе карты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя число 142857. Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под рядом, разложенным по­казывающим. С помощью карандаша и бумаги зри­тель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им карты. Пока он занят этим делом, по­казывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д., «снимает» их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу) 5). После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестизначное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения,  найденным зрителем.


 


А вот еще интересное про числа вот например знаменитое Число зверя, а вот Число «фи». Обратите внимание еще на Волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ и на то, что Великая теорема Ферма доказан


No views yet






Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия - http://infoglaz.ru/?p=60711

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments